プログラマといえば理系の仕事というイメージが強く、実際に理系の人が大勢プログラマとして働いています。しかし、プログラマの仕事内容にそこまで理系の要素は大きくないため、文系の人でもプログラマになれる可能性は十分あります。
プログラマの仕事内容は、文字列で構成されたプログラミング言語を並べていって、システムを構築するのが基本です。そして、あるプログラミング言語がどういった機能を持っているのかを、覚えていかなければなりません。そのため、理系の人であっても、学生時代にプログラミングについて学んでいなければ、文系の人とほぼ変わらないスタートラインに立っているわけです。
プログラマに求められるのは、ものごとを順序立てて考えられる論理的思考力です。理系の人は数学の証明や実験の際の試行錯誤などで、その論理的思考力が身に付いている可能性が高いので、プログラマ向きと言えます。しかし、文系の人でもそれまでの生活である程度論理的思考力が身に付いていれば、プログラマとして働けるはずです。
また、プログラマはただシステムを構築するだけではなく、クライアントの意図を読み取ったり、仲間とコミュニケーションを取ったりすることも多いです。その際には、言葉の扱いに慣れている文系の方が活躍できるかもしれません。場合によっては、相手が説明に困っている状況で適切な助言をしたり、言葉の裏に隠されている意図を汲み取ったりすることも可能でしょう。
このように、プログラマに理系や文系は関係ありません。さらに言えば、才能が備わっていなくとも、努力次第で誰しもがプログラマを目指せます（参照サイト：プログラマに才能は必要？）